相信在欧美国家生活的家长对新加坡数学应该毫不陌生，国际数学和科学评测趋势（TIMSS）和国际学生评估项目（PISA）都显示新加坡每年都是全球最优秀的数学教育体系，无论是教材还是习题集都深受全球家长欢迎。

很多华人高知家长一开始都觉得，自己受过义务教育的熏陶，数学水平帮孩子辅导一下欧美的中小学，还不是手到擒来的事。

但因为欧美教育体系和我们所接受的教育不一样，很多时候我们的思考和解题方式，孩子并不能理解。而直接照搬国内的体系教孩子，又会遇到语言的障碍，况且也确实耗时耗力还不一定有很好的成果。

这个时候，采中西各家之长的新加坡数学就脱颖而出了。首先全英教材，北美的孩子接触起来不费力，还能提高语言水平。其次，它充分运用了北美CPA 模式(Concrete, Pictorial, Abstract；实物、图形、抽象)循序渐进的培养孩子数学思维。最后，它深谙数学是一门需要不断训练的科学，配有丰富的囊括各种难易度的题库。如此一套组合拳学下来，孩子的数学思维和解题逻辑都突飞猛进，面对欧美中小学的数学考试难度，自然十拿九稳。

那么CPA 模式究竟是什么呢，又为什么能帮助孩子获得这么大的进步呢？

学理工科的家长应该都知道一句话，建模大法好！建模是帮助我们归纳总结推演实际问题的重要工具。而中小学生学数学，除了运算等问题，都是从一个典型的生活中的问题出发，提炼并学会出一个公式或者解决方法，再用这种方法去解答推算别的相似的题目。这其实就是一个建模的过程。

而CPA就是数学思维中建模的基础，它建立在现有知识上发展对数学的深刻理解。这个高效的框架从有形状的具体实物引入概念，并逐步提高抽象级别。在实物阶段，学生与真实的物体互动来建模问题。在图画阶段，他们在刚刚接触过的物体和这些物体的简笔画之间建立了一种心理联系。例如，真正的橙子现在用橙子的圆形图案来表示。而在最终的抽象阶段，学生使用数字和数学符号(+，−，×，÷)对问题进行符号建模。

通过对CPA的方法和阶段灵活的变通，老师能更好的帮孩子训练概念抽象水平能力。随着时间的推移，学生们对概念的抽象水平不断提高，从而达到掌握数学的目的。当然，并不是所有数学话题和概念都包括所有三个CPA阶段，方法的应用会因主题而异。CPA是一种教学模式，穿插在整个新加坡数学的教材和课程中，帮助学习其他的数学解题方法，如数字树状图，柱状图建模，和心算。

◆1. 数字树状图◆

数字树状图是一种表示数字间部分-整体关系的图形。一开始，整数写在一个圆里，数字的各个部分写在相邻的圆里，用线与第一个圆相连。这种方法帮助小学生学习加减法，并说明了在头脑中解决表情的策略。使用数字键培养坚实的数字感，服务于学生整个数学教育。

下面的例题摘自一年级数学教科书1A，我们将用CPA模式，运用数字树状图来学习加法。

“5只小鸟在树枝上，2只小鸟又飞了过来。现在有多少只小鸟在树枝上？”

C：Concrete 实物阶段

在这个阶段，老师应该用一些生动有趣的课堂活动进行教学。

比如让学生代表鸟。让5个学生走到教室前面，问其他同学有多少人。再派两个学生走到前面，问：“现在有几个人？”并让学生解释整体发生了什么。这种互动以一种有实物的方式向学生介绍了数学问题。

P：Pictorial 图形阶段

老师向学生展示解释了问题的图画图形。

A：Abstract 抽象阶段

老师最终才向学生引入并解释数学公式

◆2. 心算◆

新加坡数学极其重视心算，他会教授技巧和技能，帮助孩子轻松和准确地进行心算。这些策略有助于孩子发展数感和数字思维的灵活性。许多心算法则都涉及将数字分解成部分，然后以不同于原始表达式的顺序来计算。涉及到心算的思维过程通常会生动地用数字树状图来说明。

心算法则从一年级开始教学。随着学生的进步，他们会逐步将心算法则应用到特定类型的问题上，并更新曾经会的问题的解答方式。

下图是一些心算的例子：

◆3. 柱状图◆

柱状图是一个通用的数学工具，学生可以使用它来把很多数学概念变得可视化，如分数，比率，百分比等。尤其是应用题，中小学生公认应用题是最难的数学问题。一是弄不清楚题目讲了什么，二是理不清各个信息的关系，无法得出正确的公式。而柱状图模型可以让学生清晰地画出应用题到底在问什么，在给定的情况下确定已知和未知的条件。

CPA模式能帮助学生理解问题，能显示出所有数学信息。使学生能够在概念层面上理解更复杂的数学。

“Kaylee 7岁，她的姐姐Madison比Kaylee大4岁，Madison多大？”

简单地用两个柱状图表达题意，公式就会非常清晰。

“Chapa 存了32元钱。Emily比Chapa多存了14元钱。Ivy比Emily少存17元钱。Ivy 存了多少钱？她们一共存了多少钱？”

用柱状图把条件画出来，无论是几个问题都能马上解答。

“一家商店平板的库存比电脑要多三倍。在卖完2,600台平板后，平板还比电脑多500台。现在平板和电脑一共有多少台？”

柱状图的模式是不拘泥的，多变的形态可以表示乘除法。

“一开始Liam比Carlos多20个水晶石。之后，Carlos又给了Liam20个水晶石。现在，Liam的石头是Carlos的两倍。那么Liam一开始有几个水晶石呢？”

再复杂的条件都可以用简单地图形解释清楚。

现在，大家知道开头那道小明和小红的年龄问题该怎么设柱状图了吗？

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